Eis uma pergunta aparentemente simples: o que é um vetor? A maioria das pessoas com conhecimentos de matemática ou física ao nível do ensino secundário responderá que é uma quantidade que tem uma direção e uma magnitude. Comparam-nos com os escalares, que têm apenas uma magnitude, mas não têm direção.

Se pedir a alguém das ciências da computação que lhe dê uma definição de vetor, essa pessoa poderá responder que é semelhante a uma lista – uma quantidade que tem coordenadas, semelhante a um n-tuplo.

Adivinhe? Ambas as definições estão erradas! A definição “real” de vetor é muito mais abstrata, mas muito mais libertadora. A primeira vez que ouvi a definição real de um vetor, fiquei muito entusiasmado com a liberdade que a definição permite. Quero partilhar algum do meu entusiasmo consigo!

Em matemática, é frequente as definições girarem em torno de um caso especial exemplar da definição. No caso dos vectores, as tradicionais setas apontadas com que muitos estão familiarizados podem ser interpretadas como um caso especial exemplar, mas NÃO como a única possibilidade.

Antes de lhe dar a definição de vetor, vamos tentar categorizar algumas das propriedades dos “vectores”. Mais uma vez, a caraterização de conceitos familiares em termos das suas propriedades e a utilização dessas propriedades como definição é um procedimento comum em matemática.

A primeira vez que encontrei “vectores” foi como uma quantidade com uma magnitude e uma direção. Podemos representar isto como linhas num plano: da seguinte forma:

Se concordarmos em desenhar a seta a partir da origem e a apontar para fora, podemos representar o vetor como um ponto – neste caso, como o ponto (1, 1). Agora temos claramente uma grandeza: é o comprimento da reta. Usando o teorema de Pitágoras, descobrimos que é a raiz quadrada de 1² +1² = 2 que é aproximadamente 1.414…

Também tem uma direção: está a subir 45º do x-eixo.

Também podemos adicionar dois vectores. Se pensarmos neles como pontos, podemos adicioná-los por coordenadas. Ou seja, se pudermos adicionar (a, b) e (c, d) da seguinte forma:

Para visualizar isto em termos da nossa seta, juntamos a cauda de um vetor à cabeça do outro e desenhamos um novo vetor da cauda à cabeça. Assim: